دوره هندسه‌خوانی(۱)

فصل A : نقاط مهمِ مثلث

در این فصل با نقاط مهم مثلث و خواص آنها آشنا میشیم. با G شروع می‌کنیم یعنی مرکز ثقل یا محل برخورد میانه‌های مثلث. این نقطه رو فعلا با چهار نگاه ترسیمی، کلاسیک، مرکز جرم، بردار تحلیل می‌کنیم:

G مرکزثقل - ترسیمی

میانه متناظر یک راس از مثلث خطی است که از آن راس به وسط ضلع مقابل وصل می‌شود. در شکل زیر BD میانه‌ی متناظرِ راس B است:

مثال ۱-۱

به کمک خط‌کش و پرگار میانه‌ی متناظر راس B از مثلث ABC را ترسیم کنید.

حل:

ابتدا به کمک پرگار دایره‌ای به مرکزِ A و شعاع AC میزنیم. سپس دایره‌ای به مرکزِ C و شعاع AC میزنیم. خطی که از محل تقاطع دایره‌ها عبور می‌کند عمود‌منصف AC است و از نقطه‌ی D وسط AC عبور می‌کند و به کمک خط‌کش D پیدا می‌شود. از نقطه‌ی B به D وصل می‌کنیم.

مثال ۲-۱

نشان دهید میانه‌های یک مثلث همرس هستند. به نقطه‌ی همرسی مرکز ثقل مثلث می‌گوییم و آن را با G نشان می‌دهیم.

حل:

فرض کنید BE و CF میانه‌های نظیر B و C باشد. پس AF نصفِ AB و AE نصفِ AC است و طبق دو ضلع و زاویه‌ی بین، دو مثلث AFE و ABC با نسبت 1 به 2 متشابه هستند و EF موازی BC است. پس مثلث‌های EFG و BCG متشابه به همین نسبت هستند پس میانه‌های BE و CF و بطور کلی هر دو میانه از هر مثلثی یکدیگر را به نسبت یک سوم و دو سوم تقسیم می‌کنند. همرسی اثبات شد.(چرا؟)

مثال ۳-۱

میانه‌های یک مثلث مفروض هستند. مثلث را رسم کنید.

حل:

فرض کنیم D و E و F اوساط اضلاع مثلث باشند. پس مسئله بصورت طبیعی چهار متوازی‌الاضلاعِ برابر مانند شکل زیر ایجاد می‌کند. بنابراین بدیهی‌است AP=CF و DP=BE است. اضلاع مثلث ADP برابر با میانه‌های مثلث ABC است و مثلث ADP با دانستن سه ضلع آن قابل ترسیم است. AD از وسط EF عبور می‌کند بنابراین E مرکز ثقل مثلث ADP است(چرا؟). با دانستن E نقاط B و C بسادگی پیدا می‌شوند(چرا؟).

نتایج:(چرا؟)

یک - مثلث 1 مفروض است. مثلث 2 به این صورت ساخته می‌شود که طول اضلاع آن برابر با طول میانه‌های مثلث 1 است و به همین صورت مثلث i ام به این صورت ساخته می‌شود که طول اضلاع آن برابر با مثلثِ i-1 ام باشد. در این صورت مثلث‌های فردِ 1 و 3 و 5 و ... باهم متشابه‌اند و مثلث‌های زوج نیز باهم. و نسبت تشابه هر دو مثلث متوالی از هر دسته سه چهارم است.

دو - نسبت مساحت مثلث i به مساحت مثلث i-1، سه چهارم است.

مسائل 

۱-۱ مثلثی رسم کنید که محل دو رأس و محل مرکز ثقل آن مفروض است.

۱-۲ مثلثی رسم کنید که میانه‌های آن روی سه خط همرس مفروض قرار گیرند. نشان دهید یکی از رأس ها را می‌توان به دلخواه روی یکی از خطوط مفروض برگزید.

۱-۳ مثلثی رسم کنید که از آن دو ضلع و میانه‌ی متناظر با ضلع سوم مفروض است.

۱-۴ مثلثی رسم کنید که دو میانه و یکی از اضلاع آن مفروض است.(برای دوحالت مختلف ممکن حل شود)